נולד בווינה להורים ממוצא הונגרי. כבר בילדותו החל לצייר ללא הפסקה. לאחר סיפוחה של אוסטריה לגרמניה במרץ 1938 שבה משפחתו להונגריה. לאחר כניסת הגרמנים להונגריה במארס 1944 נשלח לעבודות כפייה ביוגוסלביה, ברח לבודפשט והסתתר ב'בית הזכוכית', מבנה בחסות השגרירות השווייצרית עד להגעתו של הצבא האדום בינואר 1945. משהסתיימה המלחמה הצטרף לתנועת 'השומר הצעיר והחל ללמוד ארכיטקטורה בטכניון בבודפשט. באוגוסט 1946 הפסיק את לימודיו והפליג לארץ ישראל באנית המעפילים 'כנסת ישראל'. האניה נתפסה על ידי הבריטים ונוסעיה נשלחו למחנה מעצר בקפריסין. כץ שהה במחנה כעשרה חודשים, צייר קריקטורות של השומרים הבריטים ותיאר ברישומים את חיי היום-יום. הוא גם עיצב עלונים היתוליים, בולי דואר, קישט את האוהלים וצייר כרטיסי ברכה, כרזות ותפאורות. במחנה הציג לראשונה תערוכה מציוריו. רישומים שלו מחיי המחנה נשלחו לארץ, התפרסמו ב'על המשמר' ו'דבר השבוע' והוצגו בשנת 1948 בתל-אביב בתערוכה 'תנועתנו בקפריסין'.

בסתו 1947 קיבלו כץ וחברי הגרעין שלו, 'האחד במאי' של 'השומר הצעיר', היתרי עליה והגיעו לארץ. הם יצאו להכשרה בקיבוץ אילון, שם שהו ולחמו בחודשים הראשונים של מלחמת העצמאות. ב-8 באוקטובר 1948, בעיצומם של הקרבות, עלו חברי הגרעין על הקרקע בסמוך לקיבוץ יחיעם והקימו את קיבוץ געתון. איוריו של כץ מהמלחמה פורסמו ב'על המשמר', ב'דבר השבוע' וב'במחנה'.

בשנים 1953-1950 שימש כץ כמאייר הקבוע של השבועון 'משמר לילדים'. במסגרת תפקידו אייר את הספרים הראשונים בסדרת 'חסמבה' שהתפרסמו בתחילה כסדרה בהמשכים בשבועון זה. בשנים 1954-1953 למד באקדמיה בוז'אר בפריז, והשתלם בליטוגרפיה, תחריט נחושת, פרסקו ופסיפס.

בשנת 1955 הצטרף למערכת העיתון 'על המשמר' כצייר ועורך גראפי. בהמשך הפך לקריקטוריסט קבוע של 'על המשמר' ושל 'מעריב' וכן למאייר של ביקורות התיאטרון ב'על המשמר'. הוא אייר כרזות לרוב בשרות התנועה ומפלגת מפ"ם. בשנת 1964 אייר את הגדת הפסח של 'הקיבוץ הארצי', אשר הודפסה עד היום ביותר מ-20 מהדורות ומשמשת עד היום את עורכי הסדר הקיבוצי.

בשנות החמישים הפך כץ לאחד המאיירים הקבועים של 'ספרית פועלים', הוצאת הספרים המובילה בארץ באותה תקופה. מאז ועד היום אייר כ-120 ספרים, בהם כ-70 ספרי ילדים, בסגנון משועשע ונאיבי. הוא אייר ספרים של לאה גולדברג, בנימין טנא, ע' הלל, אפרים קישון, מרים רות, נורית זרחי ועוד. בין הספרים שאייר: 'דירה להשכיר' של לאה גולדברג, 'עזית הכלבה הצנחנית' של מוטה גור ו'תמונות יפואיות' של מנחם תלמי. בשנת 1984 הופיע בול הדואר 'דירה להשכיר' כהערכה לפעילותו כמעצב ספרי ילדים.

בשנת 1962 חזר לפריז להשתלמות במלגה של ממשלת צרפת. בשנת 1972 הצטרף לצוות שבועון ההומור השוויצרי 'Nebelspalter', בשנת 1974 ייצג את ישראל בתערוכת ההומור לזכר נאסר א-דין חודז'ה באיסטנבול. בשנת 1976 ערך ביקור באיראן, ובנובמבר בשנה שלאחר מכן הציג בטהרן תערוכת ציורים של איראן וירושלים. בשנת 1979 ביקר במצרים פעמיים עם משלחת של פעילי שלום והתקבל לראיון אישי עם הנשיא סאדאת. בשנת 1980 חזר לפריז עם מלגת השתלמות בקריית האמנים הבינלאומית. בשנת 1983 ביקר בהונגריה כחבר משלחת 'שלום עכשיו'.

במסגרת שירות המילואים שימש ככתב צבאי מאייר, וכך זכה לתעד את מלחמות ישראל השונות מקו החזית ממש. הרישומים וציורי הצבע שתיעדו את רשמיו ממלחמת סיני פורסמו בספר 'בעקבות לוחמי סיני'; הרשמים ממלחמת ששת הימים - בספרים 'מהר גריזים ועד הר חרמון', 'מעבר לסיני' ו'מסע בארץ הנודעת'; הרשמים ממלחמת יום הכיפורים - בספר 'לוחמי הבזלת'. גם במלחמת שלום הגליל הכין כץ ציורים שונים, וגם שם כדרכו הכין סקיצות מהירות בשטח בתוך דקות שאת חלקן סיים מאוחר יותר בסטודיו בקיבוץ. לצד התיעוד של מלחמות ישראל, סיקר כץ באיוריו גם את דיוני השלום בין ישראל מצרים, ישראל והפלסטינאים ואף הוזמן על ידי יצחק רבין לטקס החתימה על חוזה השלום עם ירדן בעקבה.

לצד האיורים והקריקטורות צייר כץ גם ציורים אמנותיים יותר, בעיקר אקוורלים של נופים עירוניים, ציורי קיר, כרזות לתיאטרון וגם עיצב כלי קרמיקה עבור מפעל 'נעמן'. עבודותיו נמצאות באוספים רבים, ביניהם מוזיאון ישראל, מוזיאון 'יד ושם', סמינר גבעת חביבה ועוד.

עבודותיו של כץ הוצגו בעשרות תערוכות בארץ ובחו"ל. הוא השתתף בתערוכות קבוצתיות בישראל, ארצות הברית, קנדה, צרפת, איטליה, אוסטריה, יפן, ברית המועצות, גרמניה, שוויץ, בלגיה, אנגליה, דרום קוריאה, טורקיה.

שמואל כץ זכה לפרסים רבים בארץ ובעולם בהם: מדליה בתערוכה בינלאומית לאמנות הספר בלייפציג (1959); פרס בסלון השנתי להומור בבורציגרה, איטליה (1960); פרס ראשון לרישום ואקוורל של הביאנלה לאמנים צעירים בפריז (1961); פרס ב'אוסקר ההומור' בבריסל (1966); פרס אמנות ההומור בביתן אקספו במונטריאול, קנדה (1970); פרס נורדאו לאמנות, תל-אביב (1974); פרס עירית תל-אביב ע"ש נחום גוטמן (1985); אות כבוד ע"ש אנדרסון, באזל (1988); פרס ממשלת הונגריה בפסטיבל בינלאומי להומור, בודפשט הונגריה (1998); פרס לקריקטורה ע"ש דוש, בית סוקולוב, תל-אביב (2006); פרס 'עיפרון הזהב' מטעם המוזיאון הישראלי לקריקטורה וקומיקס בחולון (2007).

שמואל כץ ליווה את הווי מדינת ישראל מראשיתה ועד ימינו. את ציוריו ורישומיו מאפיין הקו הקליל, המעוגל, ההומוריסטי והשופע אהבת אדם. ניתן להגדיר את סגנונו כריאליזם עליז, הומוריסטי ואופטימי שמתקיים תמיד גם בעת הצגת אירועים קודרים ודרמטיים. הקריקטורות של שמוליק כץ ליוו את ההוויה הקיבוצית משנת 1947 עוד מתקופת מלחמת העצמאות בקיבוץ אילון. בשנת 1998, שנת החמישים לקום המדינה, הוציאה ברית התנועה הקיבוצית לאור את האלבום 'ארץ הקיבוצים', ספר קריקטורות של שמואל כץ בהוצאת 'ספריית פועלים'. בשנת 2003 פירסם כץ בהוצאת 'ספריית פועלים' ספר אלבומי ביוגרפי בשם 'גורלו של צייר: קו עובר בין אוסטריה, הונגריה וישראל'.

עד ימיו האחרונים המשיך שמואל כץ המשיך לעבוד וליצור בסטודיו שלו בקיבוץ געתון. הוא אייר ספרי ילדים ומדי שבוע הכין קריקטורה למוסף 'הקיבוץ' של התנועה הקיבוצית המחולק בעיתון 'ידיעות אחרונות'. ב-26 במרס 2010 נפטר בבית החולים בנהריה.